Retorna registros pai com registros filho iguais a valores específicos E onde o conjunto total de registros filho para um determinado pai é igual a um valor específico

A consulta que você pediu é:

SELECT  parent.item1, parent.item2, parent.index
FROM    parent
INNER JOIN
        child
ON      child.index = parent.index
GROUP BY
        parent.item1, parent.item2, parent.index
HAVING  SUM(CASE WHEN child.value IN (1111111, 2222222) THEN 1 ELSE 0 END) = 2
        AND COUNT(*) <= 2

Se você deseja apenas garantir que os filhos correspondam a todos os valores no IN list e nenhum que não esteja na lista, use isto (em SQL Server )

SELECT  *
FROM    parent p
WHERE   NOT EXISTS
        (
        SELECT  NULL
        FROM    (
                SELECT  value
                FROM    child c
                WHERE   c.index = p.index
                ) c
        FULL JOIN
                (
                SELECT  11111111 AS value
                UNION ALL
                SELECT  22222222
                ) q
        ON      c.value = q.value
        WHERE   c.value IS NULL OR q.value IS NULL
        )