Encontre as 10 cidades mais próximas com MySQL usando latitude e longitude?

Você não pode usar ter porque você não está agrupando por nada. O que você precisa fazer é repetir o que fez no select no where.

$query = "SELECT *, 
( 3959 * acos( cos( radians('$slatitude') ) * 
cos( radians( latitude ) ) * 
cos( radians( longitude ) - 
radians('$slongitude') ) + 
sin( radians('$slatitude') ) * 
sin( radians( latitude ) ) ) ) 
AS distance FROM cities WHERE ( 3959 * acos( cos( radians('$slatitude') ) * 
cos( radians( latitude ) ) * 
cos( radians( longitude ) - 
radians('$slongitude') ) + 
sin( radians('$slatitude') ) * 
sin( radians( latitude ) ) ) ) < '$miles' ORDER BY distance ASC LIMIT 0, 10";

ou você poderia fazer algo assim:

$query = "
SELECT * FROM (
  select *, 
  ( 3959 * acos( cos( radians('$slatitude') ) * 
  cos( radians( latitude ) ) * 
  cos( radians( longitude ) - 
  radians('$slongitude') ) + 
  sin( radians('$slatitude') ) * 
  sin( radians( latitude ) ) )) as distance from cities
) WHERE distance < '$miles' ORDER BY distance ASC LIMIT 0, 10";