Sua consulta atual está sem aspas em torno de sua string de data, então não funcionaria como está.
Mas para responder sua pergunta, basta passar uma string de data válida no formato AAAA-MM-DD e sua consulta funcionaria:
$date = $_POST['date'];
// Put date validation code here. I.e. make sure it is in YYYY-MM-DD
// format, etc. Might as well escape it, too since you aren't using
// prepared statements.
$sql2 = "SELECT * FROM venue_booking WHERE date_booked = '".$date."' AND venue_id =".$id;
Também devo mencionar que você provavelmente deve mudar para o uso de instruções preparadas, pois isso tornará mais seguro o uso de dados fornecidos pelo usuário em consultas.
Aqui está um exemplo de validação de data . Se você precisar converter a data de um formato para outro, isso mostrará como .
