MySQL combina duas consultas

Que tal

SELECT * FROM
(
    SELECT sodnik_1 as value FROM prihodnji_krog  WHERE file_id='8778' AND sodnik_1 != ''
    UNION 
    SELECT sodnik_2 as value FROM prihodnji_krog  WHERE file_id='8778' AND sodnik_2 != ''
    UNION
    SELECT sodnik_3 as value FROM prihodnji_krog  WHERE file_id='8778' AND sodnik_3 != ''
    UNION
    SELECT sodnik_4 as value FROM prihodnji_krog  WHERE file_id='8778' AND sodnik_4 != ''
) x INNER JOIN 
(
    SELECT value FROM notification_sodniki WHERE user_id='16'
) y 
ON x.value = y.value

Quando você usa subconsultas em um FROM cláusula, é como se você estivesse criando tabelas temporárias. Então, com o alias, você pode se referir a elas e fazer um INNER JOIN