O problema não é sobre bancos de dados diferentes.
Sua cláusula WHERE faz referência ao campo database_1.table_1.data_1 que não foi fornecido na cláusula FROM.
Você não quis dizer algo como
SELECT *
FROM database_2.table_2
JOIN database_1.table_1
ON (database_2.table_2.some_field = database_1.table_1.some_other_field)
WHERE database_1.table_1.data_1 LIKE database_2.table_2.data_2
?
Também,
echo mysql_error();
após sua consulta com falha - isso lhe dará uma pista sobre o que está errado.
