Como usar caixas de seleção para recuperar dados específicos em um banco de dados

Vejo pelo menos 2 erros no seu código.

os valores do array associativo $column_names devem ser passados como nomes de campo, então presumo que eles não estejam corretos, pois você tem espaços neles (e como eu sei que o wordpress por padrão não possui esses nomes de campo.
se alguma seleção for fornecida pelo usuário, você está adicionando alguns nomes de campo extras aos que são passados pelo usuário e você tem dois pontos depois deles, então isso gerará um erro.

Eu reescreveria o código assim

<?php
$all = false;
$column_names = array('1' => '`field1`', '2' => '`field2`', '3' => '`field3`');
if(isset($_POST['columns'])){
    $column_entries = $_POST['columns'];
    $sql_columns = array();
    foreach($column_entries as $i) {
        if(array_key_exists($i, $column_names)) {
            $sql_columns[] = $column_names[$i];
        }
    }
    $sql_columns[] = "authorss";
    $sql_columns[] = "research_source";
    $sql_columns[] = "research_title";
} else {
    $all = true;
    $sql_columns[] = "*";
}

Além disso, como você disse $wpdb->get_results já retorna os resultados - array, então é por isso que você obtém os erros. Além disso, antes de chamar mysql_fetch_assoc é melhor verificar se o parâmetro passado é recurso e se o número de linhas não é 0.

if($result!==false && mysql_num_rows($result)>0){
    while( $row = mysql_fetch_assoc($result)){
        ...
    }
}

************ ATUALIZAÇÃO ***********

de acordo com as últimas alterações, tente este código:

<?php
$all = false;
$column_names = array('1' => '`authorss`', '2' => '`research_source`', '3' => '`research_title`');
if(isset($_POST['columns'])){
    $column_entries = $_POST['columns'];
    $sql_columns = array();
    foreach($column_entries as $i) {
        if(array_key_exists($i, $column_names)) {
            $sql_columns[] = $column_names[$i];
        }
    }
} else {
    $all = true;
    $sql_columns[] = "authorss";
    $sql_columns[] = "research_source";
    $sql_columns[] = "research_title";
}

global $wpdb;

//DNI CHECKBOX + ALL
$tmp = $wpdb->get_results( "SELECT ".implode(",", $sql_columns)." FROM wp_participants_database"); 


echo "<table border='1' style='width:450px'>
    <tr>
    <th>authorss</th>
    <th>research_source</th>
    <th>research_title</th>";
foreach($column_names as $k => $v) { 
    if($all || (is_array($column_entries) && in_array($k, $column_entries)))
        echo "<th>$v</th>";
}
echo "</tr>";

if(count($tmp)>0){
    for($i=0;$i<count($tmp);$i++){
        echo "<tr>";  
            foreach($tmp[$i] as $key=>$value){
                echo "<td>" . $value . "</td>";   
            }
            foreach($column_names as $k => $v) { 
                if($all || (is_array($column_entries) && in_array($k, $column_entries))) {
                    echo "<th>".$row[$v]."</th>";
                }
            }
        echo "</tr>";
    }
}

echo '</table>';
?>