Isso funciona para mim:
mysql> SELECT MONTH(FROM_UNIXTIME(1369967316));
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| MONTH(FROM_UNIXTIME(1369967316)) |
+----------------------------------+
| 5 |
+----------------------------------+
Seu problema provavelmente vem do fato de que 1369967316 é 30 de maio, não junho (como você espera), resultando em uma desigualdade com
MONTH(CURDATE()) . mysql> SELECT FROM_UNIXTIME(1369967316);
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| FROM_UNIXTIME(1369967316) |
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| 2013-05-30 22:28:36 |
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