No nível básico, as extensões mysql, mysqli e PDO respondem à pergunta como eu falo com o banco de dados? Todos eles fornecem funções e funcionalidades para se conectar a um banco de dados e enviar e recuperar dados dele. Você pode usá-los todos ao mesmo tempo estabelecendo várias conexões com o banco de dados de uma só vez, mas isso normalmente não faz sentido.

mysql* é uma extensão muito simples que basicamente permite que você se conecte ao banco de dados, envie consultas SQL e nada mais.
mysqli melhora isso (como o nome sugere) adicionando consultas parametrizadas e algumas outras coisas no arquivo mix.
PDO é uma extensão que abstrai vários drivers de banco de dados em um pacote, ou seja, permite que você use o mesmo código para se conectar ao MySQL, Oracle, MS SQL Server e vários outros bancos de dados sem precisar usar banco de dados específico extensões ou reescrever seu código quando você alterna bancos de dados (pelo menos em teoria). Ele também suporta consultas parametrizadas.

Se você sabe que vai usar o MySQL exclusivamente, o mysqli é uma boa escolha. Especialmente porque você pode usá-lo de forma procedural, o que você já está acostumado com a extensão mysql. Se você não estiver familiarizado com OOP, isso é útil. Caso contrário, o PDO é um bom conector de banco de dados flexível e orientado a objetos.

* Observe que a extensão mysql agora está obsoleta> e será removido em algum momento no futuro . Isso porque é antigo, cheio de más práticas e carece de alguns recursos modernos. Não o use para escrever um novo código.