Encontrei a solução para o meu problema:
SELECT * FROM "users" WHERE (profile #>> '{name}') ILIKE 'super %'
Eu não sei se isso está funcionando bem o suficiente, mas funciona.
Provavelmente é aconselhável adicionar um índice a ele.
SELECT * FROM "users" WHERE (profile #>> '{name}') ILIKE 'super %'